Física de la Resistencia del Cable: Por Qué el Radio al Cuadrado Rige la Conductividad

La resistencia de un cable es inversamente proporcional al cuadrado de su radio (R ∝ 1/r²). Duplicar el radio → ¼ de la resistencia. Esta relación cuadrática es por qué el dimensionamiento del conductor es la palanca más poderosa para reducir pérdidas.

La Fórmula Fundamental

R = ρ · L / A

• R = Resistencia (Ω)
• ρ (rho) = Resistividad del material (Ω·m) — propiedad intrínseca (Cu: 1.68×10⁻⁸, Al: 2.82×10⁻⁸ @ 20°C)
• L = Longitud (m)
• A = Área de sección transversal (m²) = πr²

Sustituir A: R = ρL / (πr²) → R ∝ 1/r²

Consecuencias Prácticas

Por Qué Esto Impulsa el Diseño Eléctrico

1. Caída de Voltaje (Vd = I·R): Reducir a la mitad R (aumentando r por √2 ≈ 1.41×) reduce a la mitad la caída de voltaje. Crítico para recorridos largos, arranque de motor, electrónica sensible.
2. Pérdida de Potencia (P_pérdida = I²R): Reducir a la mitad R reduce a la mitad la generación de calor. Eficiencia ↑, temperatura ↓, vida del aislamiento ↑.
3. Ampacidad (NEC 310.16): Mayor área → más superficie para disipar calor → mayor corriente permitida. Pero no lineal — la disipación de calor ∝ área de superficie (∝ r), mientras la generación de calor ∝ I². Resultado: Ampacidad ∝ r^1.5 aprox.
4. Efecto Piel (CA): A 60 Hz, profundidad de piel en Cu ≈ 8.5 mm. Para r > 8.5 mm (> 4/0 AWG), la corriente se agrupa cerca de la superficie → área efectiva < πr² → R_ac > R_dc. Solución: conductores trenzados, segmentados o huecos.
5. Compromiso Costo/Peso: Cu: $8–10/kg. Al: $2–3/kg pero se necesita 1.6× área. Alimentadores grandes a menudo Al para ahorrar peso/costo.

Ejemplo del Mundo Real: Entrada de Servicio de 100A

• Cu: 4 AWG (r ≈ 2.03 mm, A = 21.2 mm²) → R = 0.815 Ω/km. Recorrido de 50 ft → 0.0124 Ω de bucle → Vd @ 100A = 1.24V (1% @ 120V). Bueno.
• Al: 2 AWG (r ≈ 2.53 mm, A = 33.6 mm²) → R = 0.86 Ω/km (R similar, r más grande). Más ligero, más barato.

Más Allá del Radio: La Imagen Completa

• Longitud (L): R ∝ L. Duplicar longitud = duplicar resistencia. No hay forma de evitarlo.
• Material (ρ): Ag (mejor) > Cu > Au > Al > Fe > NiCr (nicromo). Cu es el punto óptimo.
• Temperatura: R = R₂₀[1 + α(T-20)]. Cu α = 0.00393/°C. 90°C → R = 1.275×R₂₀.
• Frecuencia (Efecto Piel/Proximidad): R_ac = R_dc × (1 + k_s + k_p).
• Conexiones: Un borne malo añade 0.1–1 mΩ — equivalente a metros de cable.

Regla de Diseño: Maximiza el radio (dentro del costo/ajuste) para minimizar R. Pero recuerda: la terminación suele ser el punto de mayor resistencia en el circuito.