Sistemas numéricos de computadora: Binario, octal, hexadecimal y punto flotante explicados

Las computadoras procesan información usando sistemas numéricos fundamentalmente diferentes de la notación decimal humana. Entender estos sistemas es esencial para la programación, el diseño de hardware y la lógica digital.

Sistemas numéricos posicionales

Todos los sistemas usan notación posicional: el valor de cada dígito = dígito × base^posición (el más a la derecha = posición 0).

Decimal (Base-10)

Dígitos: 0-9. Estándar humano.

 352₁₀ = 3×10² + 5×10¹ + 2×10⁰ = 300 + 50 + 2 

Binario (Base-2)

Dígitos: 0, 1. Fundación de toda la lógica digital.

 1101₂ = 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 8 + 4 + 0 + 1 = 13₁₀ 

Bits (dígitos binarios) se agrupan en: nibble (4), byte (8), palabra (16/32/64).

Octal (Base-8)

Dígitos: 0-7. Histórico: PDP-8, permisos tempranos de Unix. Cada dígito octal = 3 bits.

 732₈ = 7×8² + 3×8¹ + 2×8⁰ = 448 + 24 + 2 = 474₁₀ 

Hexadecimal (Base-16)

Dígitos: 0-9, A-F (A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15). Cada dígito hex = 4 bits. Estándar para direcciones de memoria, códigos de color, código máquina.

 204F₁₆ = 2×16³ + 0×16² + 4×16¹ + 15×16⁰ = 8192 + 0 + 64 + 15 = 8271₁₀ 

Conversiones

De	A	Método
Binario	Octal	Agrupa 3 bits desde la derecha
Binario	Hex	Agrupa 4 bits desde la derecha
Octal/Hex	Binario	Expande cada dígito
Cualquiera	Decimal	Expansión posicional
Decimal	Cualquiera	División repetida (entero), multiplicación (fracción)

Punto flotante (Números reales)

Estándar IEEE 754: signo × mantisa × base^exponente

Precisión simple (32 bits)

• 1 bit de signo
• 8 bits de exponente (sesgo 127)
• 23 bits de mantisa (1 implícito a la izquierda)
• Rango: ~±10^±38, ~7 dígitos decimales de precisión

Precisión doble (64 bits)

• 1 signo, 11 exponente (sesgo 1023), 52 mantisa
• Rango: ~±10^±308, ~15 dígitos decimales

Ejemplo: 13.75 en IEEE 754 Simple

 13.75₁₀ = 1101.11₂ = 1.10111₂ × 2³ Signo: 0 (positivo) Exponente: 3 + 127 = 130 = 10000010₂ Mantisa: 10111000000000000000000 (1 implícito a la izquierda) Binario: 0 10000010 10111000000000000000000 Hex: 0x415E0000 

Valores especiales

• Cero: todos los bits 0 (±0)
• Infinito: exponente todos 1s, mantisa 0 (±∞)
• NaN: exponente todos 1s, mantisa ≠ 0
• Desnormalizado: exponente 0, mantisa ≠ 0 (subflujo gradual)

Por qué esto importa

Los sistemas numéricos sustentan: direccionamiento de memoria, operaciones a nivel de bit, representación de color, protocolos de red, formatos de archivo, criptografía y computación de GPU. El dominio permite depuración eficiente, optimización y programación de bajo nivel.