Qué es la convolución bidimensional

La convolución es un concepto clave en el procesamiento de señales, que consiste en operaciones para extraer información significativa de las señales. Los matemáticos usan técnicas de convolución para construir la señal de salida ante cualquier entrada aleatoria, valiéndose de la respuesta al impulso del sistema. El análisis funcional, la ingeniería eléctrica, la probabilidad y el procesamiento de imágenes y señales emplean la convolución bidimensional.

Matemáticamente, la convolución opera sobre dos funciones y produce una tercera que resulta de la modificación de las originales.

Derivación de la convolución 2-D a partir de la 1-D

Las convoluciones bidimensionales son las partes más costosas en tiempo de una aplicación. Los matemáticos las obtienen extendiendo el tratamiento matemático de una dimensión a dos. La convolución 2-D ocurre en direcciones horizontal y vertical sobre un espacio bidimensional. La respuesta al impulso en 2-D se denomina kernel o filtro.

Aplicación de la convolución 2-D

La teoría de convolución 1-D se generaliza a dos dimensiones para aplicarla a imágenes. Habitualmente se tratan las dos dimensiones por separado. Para aplicar convolución 2-D a la señal f(x,y), se aplica primero la Transformada de Fourier en x (con y fija) y luego en y (con x fija), obteniendo una función de dos variables de frecuencia. No siempre es posible descomponer funciones 2-D en secuencias de operaciones 1-D; cada convolución 2-D produce una única serie, salvo que una de las señales de entrada sea separable.

Convolución 2-D en procesamiento de imagen y señal

En procesamiento de imagen, el operador de convolución actúa como filtro que modifica características: suaviza, realza bordes, distorsiona o elimina ruido de distintas frecuencias. En procesamiento de señal, ayuda a suprimir partes innecesarias y a dividir la señal en múltiples componentes. El procesamiento sísmico también usa convolución 2-D.

Convolución de una imagen

Cada imagen tiene dos dimensiones, por lo que su procesamiento usa convoluciones 2-D. En la convolución de imagen, cada píxel se asocia a un subconjunto de un array de filtro (kernel) del mismo tamaño. Cada paso procesa los componentes de color del píxel asociado a un elemento del array; los elementos del filtro escalan los componentes correspondientes de la imagen. Tras cada paso, la posición del filtro se desplaza una unidad, al igual que los píxeles de la imagen de entrada, recorriendo toda la imagen.